Pangkat adalah hasil perkalian suatu bilangan yang sama secara berulang.

• Aturan Pangkat:

\[ a^m \times a^n = a^{m+n} \quad \text{dan} \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]

\[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \quad \text{dan} \quad a^0 = 1 \]

• Pangkat Negatif dan Pecahan:

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad \text{dan} \quad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \]

Contoh Soal:

• Hitung \( 2^3 \times 2^4 \) Lihat Jawaban
• Hitung \( \frac{5^6}{5^2} \) Lihat Jawaban
• Hitung \( (3^2)^4 \) Lihat Jawaban

Akar adalah kebalikan dari pangkat. Akar kuadrat adalah nilai yang jika dikuadratkan menghasilkan bilangan tersebut.

• Operasi Akar:

\[ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \quad \text{dan} \quad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]

\[ \sqrt{a} + \sqrt{b} \text{ hanya bisa dijumlahkan jika } a = b \]

• Contoh Soal:
• Hitung \( \sqrt{25} + \sqrt{36} \) Lihat Jawaban
• Hitung \( \sqrt{12} \times \sqrt{3} \) Lihat Jawaban
• Hitung \( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \) Lihat Jawaban

Merasionalkan penyebut berarti menghilangkan akar dari penyebut dengan mengalikannya dengan akar sekawan.

\[ \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \quad \text{atau} \quad \frac{1}{a + \sqrt{b}} \times \frac{a - \sqrt{b}}{a - \sqrt{b}} \]

Contoh Soal:

• Rasionalkan \( \frac{1}{\sqrt{5}} \) Lihat Jawaban
• Rasionalkan \( \frac{2}{3 + \sqrt{2}} \) Lihat Jawaban
• Rasionalkan \( \frac{4}{\sqrt{3}} \) Lihat Jawaban

Akar bertingkat adalah bentuk seperti √(√(√x)) atau lebih dalam lagi. Kita bisa menyederhanakannya menggunakan aturan akar dan pangkat:

Ingat Rumus:

• \( \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} \)
• \( \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = x^{\frac{1}{m \cdot n}} \)
• \( (\sqrt[n]{x})^m = x^{\frac{m}{n}} \)

Langkah-langkah umum menyederhanakan akar bertingkat:

1. Ubah semua akar menjadi bentuk pangkat pecahan.
2. Kalikan semua pangkat jika bertingkat.
3. Sederhanakan hasilnya jika memungkinkan.

Contoh 1: \( \sqrt{\sqrt{\sqrt{81}}} \)

Ubah menjadi bentuk pangkat:
\( \sqrt{\sqrt{\sqrt{81}}} = (81^{1/2})^{1/2})^{1/2} = 81^{(1/2)^3} = 81^{1/8} \)

Karena 81 = \( 3^4 \), maka:
\( 81^{1/8} = (3^4)^{1/8} = 3^{4/8} = 3^{1/2} = \sqrt{3} \)

Jadi: \( \sqrt{\sqrt{\sqrt{81}}} = \sqrt{3} \)

Contoh 2: \( \sqrt[3]{\sqrt{16}} \)

Ubah ke bentuk pangkat: \( \sqrt{16} = 16^{\frac{1}{2}} \), lalu:
\( \sqrt[3]{16^{\frac{1}{2}}} = 16^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 16^{\frac{1}{6}} \)
Karena \( 16 = 2^4 \), maka:
\( 16^{\frac{1}{6}} = (2^4)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{4}{6}} = 2^{\frac{2}{3}} \)

Jadi: \( \sqrt[3]{\sqrt{16}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^2} \)

Contoh 3: \( \left( \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt{64}}} \right)^2 \)

Kita sederhanakan dari dalam ke luar:
\( \sqrt{64} = 8 = 2^3 \)
\( \sqrt[3]{8} = 2 \)
\( \sqrt{2} \), lalu dipangkatkan 2:
\( (\sqrt{2})^2 = 2 \)

Jadi hasilnya: \( 2 \)

Contoh 4: \( \sqrt[4]{\sqrt[3]{\sqrt{625}}} \)

Ubah semua ke bentuk pangkat:
\( \sqrt{625} = 625^{1/2} \) → \( \sqrt[3]{625^{1/2}} = 625^{1/6} \) → \( \sqrt[4]{625^{1/6}} = 625^{1/24} \)
Karena 625 = \( 5^4 \), maka:
\( (5^4)^{1/24} = 5^{4/24} = 5^{1/6} \)

Jadi: \( \sqrt[4]{\sqrt[3]{\sqrt{625}}} = 5^{1/6} = \sqrt[6]{5} \)

Latihan Soal:

• Hitung \( \sqrt{\sqrt{\sqrt{256}}} \) Lihat Jawaban
• Sederhanakan \( \left( \sqrt[3]{\sqrt{81}} \right)^2 \) Lihat Jawaban
• Tentukan nilai dari \( \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{16}}} \) Lihat Jawaban